Vad är ett mönster i korthet

Upptäcka mönster samt generella samband

I detta segment bör oss vandra igenom hur man finner generella samband. till för att artikel trygg vid för att man hittat en generellt samband sålunda måste detta gälla till fler modell alternativt en mönster vilket upprepar sig i enlighet med en visst samband.

Hitta generella mönster samt talföljder tillsammans med konstant förändring

Ett generellt samband existerar mot modell en mönster vilket beskriver enstaka förändring vilket upprepar sig.

detta kunna artikel en objekt mot modell punkter likt ligger inom en mönster vilket ökar alternativt reducerar.

De enskilda elementen i en sekvens kallas termer

detta kunna även artikel enstaka nummerföljd liksom reducerar alternativt ökar. då oss beskriver en generellt samband liksom ökar alternativt reducerar således är kapabel detta oftast beskrivs tillsammans hjälp från enstaka formel.

När oss skall förklara en mönster tillsammans hjälp från enstaka formel således används vissa tecken.

Vanligt existerar för att nyttja $n$ till för att förklara figurens siffra samt a till för att förklara antalet element.

Ökande mönster:

I mönstret nedan därför existerar $n=\;\text{Figur 1}, 2\;\text{eller}\;3$ samt $a_n=\;\text{antal punkter inom varenda figur}$.

Vi ser inom detta modell för att punkterna ökar tillsammans ett punkt till varenda figur angående man tittar nerifrån.

Man kallar detta differensen $d=1$. oss får ett nummerföljd tillsammans med tre element

$$a_1, a_2, a_3=2, 3, 4$$

Om oss vet värdet från en element, $a_n$, kunna oss inom detta fall lätt beräkna nästa, $a_{n+1}$.

$$a_{n+1}=a_n+d$$

där $d=1$

Detta existerar enstaka rekursiv formel vilket används på grund av för att stega sig fram inom ett talföljd alternativt mönsterutveckling var man får nästa anförande genom för att utgå ifrån den föregående elementet inom talföljden.

Algebraiskt tänkande handlar om att se mönster, hitta samband, upptäcka strukturer och därefter generalisera

enstaka rekursiv formel är kapabel existera opraktisk angående talföljden existerar utdragen samt oss önskar beräkna t.ex. detta miljonte elementets värde.

Ett annat sätt för att matematiskt förklara talföljden inom detta modell existerar formeln

$$a_n=a_1+(n-1)\cdot d$$

där $d=1$

som existerar enstaka explicit formel vilket är kapabel användas till för att direkt behärska beräkna värdet vid en godtyckligt element.

Om oss mot modell bör beräkna $a_3$ därför får oss $a_3=a_1+(3-1)\cdot1=2+2=4$

Vi ser inom formeln $a_n=a_1+(n-1)\cdot d$ för att oss ständigt startar tillsammans inledande värdet $a_1$ samt sen lägger oss mot antal differenser.

oss ser inom mönstret ovan för att detta existerar $2$ stycken differenser mellan Fig1 samt Fig3. Antal differenser existerar ständigt $(n-1)$ liksom oss ser inom formeln, oavsett vilket värde differensen har.

Minskande mönster:

Om oss istället låter Figur 1 bestå från fyra punkter samt sen Figur 2 bestå från $3$ punkter samt Figur 3 bestå från $2$ punkter.

Här är några exempel på sekvenser

oss äger enstaka minskning från antal punkter dvs. differensen $d=-1$

Den rekursiva formeln blir

$$a_{n+1}=a_n+d$$

där $d=-1$

och den explicita formeln existerar såsom tidigare

$$a_n=a_1+(n-1)\cdot d$$

där $d=-1$

Hitta generella mönster samt talföljder utan konstant förändring

Om differensen ej existerar konstant hur utför oss då?

Då differensen ej existerar konstant sålunda får oss inom stället titta angående detta finns något annat liksom hjälper oss för att hitta sambandet.

Vi äger mot modell talföljden var differensen ej existerar konstant:

$$1, 4, 9, 16, 25, 36, ...$$

Då förmå oss titta för att ($1=1\cdot1$), ($4=2\cdot2$), ($9=3\cdot3$), ($16=4\cdot4$), ($25=5\cdot5$) samt ($36=6\cdot6$)

Vi får att: $a_n=n^2$

Vi provar formeln samt ser ifall oss får den rätta talföljden:

$$a_1=1^2=1, a_2=2^2=4, a_3=3^2=9, a_4=4^2=16, a_5=5^2=25\;\text{och}\;a_6=6^2=36$$

Vi ser för att $a_n=n^2$ stämmer.

Vi kunna visa talföljd såsom en mönster likt besitter identisk element såsom talföljden $1, 4, 9, 16$:

Vi kunna ta en annat modell då mönstret ej äger ett konstant differens:

Talföljden existerar $2, 6, 12$

Då är kapabel oss hitta sambandet

$$2=1\cdot2,\;\;\;\;6=2\cdot3,\;\;\;\;12= 3\cdot4$$

Vi ser för att siffran $1$ växer tillsammans med en steg mot $2$ samt sedan $3$ samt samtidigt växer $2$ mot $3$ samt sedan mot $4$.

Vi är kapabel därför notera $a_n=n\cdot(n+1)$

Vi provar denna formel

\begin{align*}
a_1&=1\cdot(1+1)=2\\
a_2&=2\cdot(2+1)=6\\
a_3&=3\cdot(3+1)=12
\end{align*}

Vi ser för att detta stämmer.

Anledningen mot för att man önskar ta fram enstaka formel liksom t.ex.

$a_n=n\cdot(n+1)$ existerar till för att behärska ta fram vad t.ex. $100$:de elementet är:

$$a_{100}=100\cdot(100+1)=100\cdot101=10\,100$$

Om oss äger talföljden: $1, 3, 9, 27, ...$

$$a_1=1,\;\;a_2=3,\;\;a_3=9,\;\;a_4=27$$

Så ser oss för att detta ej existerar ett konstant differens.

Vi ser för att $3\cdot1=3,\;\;\;3\cdot3=9,\;\;\;3\cdot9=27,\;\;\; …$

Vi ser för att varenda anförande inom talföljden bildas genom för att muliplicera $3$ tillsammans med föregående anförande, utom talet $1$ liksom ej besitter något föregående anförande.

I detta avsnitt ska vi gå igenom hur man finner generella samband

oss är kapabel skriva:

$$a_1=1\;\text{och}\;a_n=3\cdot a_{n-1}$$

Vi provar denna formel till för att räkna ut fjärde talet

$$a_4=3\cdot a_3=3\cdot 27=81$$

Vi ser för att formeln stämmer.

Om oss besitter talföljden: $20, 18, 15, 11, ...$

$$a_1=20, a_2=18, a_3=15, a_4=11$$

Så ser oss för att $20-2=18,\;\;\;18-3=15,\;\;\;15 -4=11$

Vi ser för att talföljden reducerar tillsammans med föregående anförande minus talföljdens siffra, utom talet $1$ därför oss kunna skriva:

$$a_1=20\;\text{och}\;a_n=a_{n-1}-n$$

Vi provar tillsammans $n=4, 3, 2$

\begin{align*}
a_4&=a_3-4=15-4=11\\
a_3&=a_2-3=18-3=15\\
a_2&=a_1-2=20-2=18
\end{align*}

Om oss äger talföljden: $1, 4, 8, 13, ...$

Vi ser för att differensen ökar ifrån $3$ mellan $1$ samt $4$ mot $4$ mellan $4$ samt $8$ samt $5$ mellan $8$ samt $13$.

sålunda differensen ökning existerar konstant $3$ mot $4$ mot $5$

Differensen $=3$ mellan $1$ samt $4$ medför att

\begin{align*}
a_2&= a_1+3\\
a_2&=1+3=1+(2+1)=4\\
a_n&=a_{n-1}+ (n+1)
\end{align*}

$$\text{Samt}\;a_1= 1$$

Vi provar för att formeln vid elementen

\begin{align*}
a_2&=1+(n+1)=1+2+1=4\\
a_3&=4+(n+1)=4+3+1=8\\
a_4&=8+(n+1)=8+4+1=13
\end{align*}

Det medför för att formeln $a_n=a_(n-1)+ (n+1)$ stämmer

Generella samband likt ej existerar mönster alternativt talföljder

Men generella samband behöver ej bara artikel mönster samt talföljder detta finns andra generella samband.

på grund av för att detta bör existera en allmänt samband således måste man behärska visa för att detta gäller på grund av fler modell. oss visar tillsammans några modell hur oss är kapabel hitta generella samband.

Att leta och upptäcka mönster är ett sätt att närma sig algebra för barn i förskolan och i förskoleklassen

Oftast används Algebra på grund av för att visa detta.

Vi tänker för att oss ber ett individ för att ta en kreditkort ur ett kortlek samt titta vilken siffra detta motsvarar var knekt existerar $11$, liten sjö $12$, monark tretton samt ess fjorton. oss säger för att personen bör komma minnas kortets värde samt utföra följande:

Ta talets värde samt multiplicera detta tillsammans med $4$
Lägg mot $16$
Dividera uttrycket tillsammans med 4

Kalla talets värde liksom personen dragit $=x$

Vi utför punkt $1$ mot $3$ samt får

$$\frac{4x+16}{4}=x+4$$

Vilket anförande $x$ personen dragit ur kortleken således blir resultatet ständigt $x + 4$.

Vi säger mot personen liksom drog kortet för att detta kortet likt drogs minskat tillsammans med $4$ existerar detta kortet såsom personen drog.
Detta existerar en modell likt går för att utföras flera gånger samt oss får varenda gång identisk effekt vilket medför för att detta existerar en allmänt samband.

Vi tar en mot tänkt exempel

En gummisnodd läggs inom ett cirkel tillsammans med diametern $d$ cm.

Vi drar inom gummisnodden således diametern blir $20\%$ cm längre.

Sen släpper oss gummisnodden sålunda den blir $20\%$ mindre.

Med hjälp från Förändringsfaktorn är kapabel oss beräkna hur gummisnodden ursprunglig fick enstaka större diameter då den ökade tillsammans $20\%$ samt sen minskade tillsammans $20\%$. inledningsvis ökade diametern tillsammans med Förändringsfaktorn $1,20$. Sedan minskade detta värde $(d\cdot1,20)$ tillsammans med $20\%$ såsom existerar detsamma såsom för att multiplicera tillsammans Förändringsfaktorn $0,8$.

Vi får ekvationen:

$$d\cdot1,20)\cdot0,80=d\cdot0,96$$

Oavsett vad diametern fanns ifrån start således existerar diametern ständigt $0,96$ multiplicerat tillsammans diametern senare angående oss utför identisk procedur.
Detta modell går för att utföras flera gånger samt man får ständigt identisk svar, sålunda detta existerar även en allmänt samband.

Historisk not

Talföljden $0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...$ är känd likt Fibonaccis talföljd.

varenda anförande existerar summan från dem numeriskt värde föregående samt dem numeriskt värde inledande existerar $0$ samt $1$.

Leonardo Pisano Fibonacci använde dem på grund av för att förklara tillväxten hos kaniner inom start vid 1200-talet.

Algebra - Uttryck och mönster

Talen beskriver antalet kaninpar inom ett samling kaniner efter $n$ månader ifall man fullfölja en antal antaganden.

Den rekursiva formeln fibonacci-talen existerar enkel

$a_n=a_{n-2}+a_{n-1}$ tillsammans med startvärdena $0$ samt $1$

Den explicita formeln existerar ej lätt för att anlända vid samt den formulerades ursprunglig vid start från 1800-talet från den franske matematikern Jacque Binet.

$$a_n=\frac{\left(1+\sqrt5\right)^n-\left(1-\sqrt5\right)^n}{2^n\sqrt5}$$

Leonardo från Pisa (Leonardo Fibonacci, Leonardo Pisano, Leonardo ifrån Pisa alternativt bara Fibonacci), född inom Pisa runt 1170, död cirka 1250, räknas likt enstaka från Italiens samt världens största matematiker.

Fibonacci växte upp inom Algeriet då hans far ägde jobb var, dock återvände mot Pisa runt tid 1200.

Jacques Philippe Marie Binet, född den 2 månad 1786 inom Rennes, död den 12 femte månaden i året 1856 inom Paris, fanns enstaka fransk matematiker, fysiker samt astronom. han existerar även accepterad liksom den inledande för att förklara regeln på grund av för att multiplicera matriser 1812, samt Binets formel likt uttrycker Fibonaccital inom sluten struktur namnges mot hans ära.